Элементарная теория вероятностей

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать результат отличает случайное явление от детерминированного.

Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях. Случайность и хаос — не одно и то же. Оказывается, что и в случайных экспериментах наблюдаются некоторые закономерности, например свойство «статистической устойчивости»: если  — некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля  экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов , приближаясь к некоторому числу . Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию  произойти.

Следует помнить, что мы занимаемся математикой и имеем дело не с реальностью, а лишь с её математической моделью. Мы и будем изучать только математические модели, а приложение их к реальности оставим на долю математической и практической статистики.

http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node4.html  

Метод Монте-Карло

Ме́тод Мо́нте-Ка́рло (методы Монте-Карло, ММК) — общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. Используется для решения задач в различных областях физики, химии, математики, экономики, оптимизации, теории управления и др

https://drive.google.com/file/d/0B2BeihKRHPZcU0hkTEFQTm5UZEk/view?usp=sharing

Теория графов

Основные понятия теории графов
Граф - система, которая интуитивно может быть рассмотрена как множество кружков и множество соединяющих их линий {геометрический способ задания графа - см. рисунок 1). Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками - дугами, без стрелок -ребрами. Граф, в котором направление линий не выделя­ется (все линии являются ребрами), называется неориентирован­ным; граф, в котором направление линий принципиально (линии являются дугами) называется ориентированным.
Теория графов может рассматриваться как раздел дискретной математики (точнее - теории множеств), и формальное определение графа таково: задано конечное множество X , состоящее из n элементов (X = {1, 2,..., n}), называемых вершинами графа, и подмножество V декартова произведения X хХ, то есть VcX 2 , называемое множеством дуг, тогда ориентированным графом G называется совокупность ( X , V ) (неориентированным графом назы­вается совокупность множества X и множества неупорядоченных пар элементов, каждый из которых принадлежит множеству X ). Дугу между вершинами i и j , i , j еХ, будем обозначать ( i , j ). Число дуг графа будем обозначать m ( V = ( v 1, v 2,..., v m )).
https://drive.google.com/file/d/0B2BeihKRHPZcWmNmdVB6dElyTnc/view?usp=sharing

Проблема четырех красок

Проблема четырёх красок: нестрогое доказательство))

Проблема четырёх красок — математическая задача, предложенная Гутри (англ.) в 1852 году.
Выяснить, можно ли всякую расположенную на сфере карту раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета.
К. Аппель и В. Хакен доказали в 1976 г., что так можно раскрасить любую карту. Это была первая крупная математическая теорема, для доказательства которой был применён компьютер. Несмотря на последующие упрощения, доказательство практически невозможно проверить, не используя компьютер. Поэтому некоторые математики отнеслись к этому доказательству с недоверием, что объяснялось не только использованием компьютера, но и громоздкостью описания алгоритма первых доказательств (741 страница), впоследствии были предложены более компактные алгоритмы и скорректирован ряд ошибок. Проблема четырех красок является одним из известнейших прецедентов неклассического доказательства в современной математике.
(по материалам Википедии)

http://lib.ru/INOFANT/GARDNER_M/island.txt 

Проблема четырёх красок: нестрогое доказательство))